Пожалуйста,помогите решить задачи:
1.Четырёхугольная пирамида расположена внутри сферы радиуса 1.Доказать,что сумма длин всех рёбер пирамиды меньше 15.
2.Дана правильная треугольная пирамида(основание-равносторонний треугольник) SABC( ABC-основание).Длина рёбер основания равна a.Длина боковых рёбер равна a умножить на корень из двух. Сфера проходит через т. A и касается рёбер SB и SC в серединах .Найти радиус сферы.
Для первой задачи можно использовать свойство о том, что площадь поверхности вписанного многогранника меньше площади поверхности сферы, а данном случае это 2pi. Т.е. имеем 4 треугольника со сторонами (а,в,с), (а,е,f), (b,e,g) и (c,g,f) и сумма их слощадей не превосходит 2pi. Можно будет дальше раскрутить.
Долго не думал, поэтому вариант "в лоб" (для второй задачи)
Уравнение сферы с центром в начале координат: х^2+y^2+z^2=R^2
Есть три точки, лежащие на поверхности сферы, которые должны удовлетворять кроме этого уравнения условиям нахождения на поверхности пирамиды.
Попробую разобрать на работе свое предположение (инета там нет), если к вечеру будет актуально - разберусь - выложу.
Большое спасибо за версии!General,я думаю,что при переходе от площади сферы к площади поверхности пирамиды получиться слишком грубое неравенство(но большое спасибо за версию).Я обсуждал эту версию с коллегами.В первой задаче легко доказать это же усливое для 16(делается через треугольники(третья сторона больше суммы двух других)),а вот откуда берется 15, я не знаю.Кажется,это вступительная задача когда-то была на физтехе.
По поводу второй задачи (если актуальность еще сохранилась):
Имеем пирамиду с вершинами A,B,C,S и двумя серединами ребер D и E. Также в наличии сфера с центром O (координаты центра сферы принял за 0,0,0). Таким образом в наличии 6 точек, каждая с тремя неизвестными координатами (xi, yi, zi) и неизвестный радиус окружности R. Всего девятнадцать неизвестных.
Попытаемся составить какое-то количество независимых уравнений:
Длины отрезков:
- AB, AC, AS, AD, AE;
- BC, BD, BE, BS;
- CD, CE, CS;
- DE, DS;
- ES;
Длина отрезка AB выражается как (xa - xb)^2 + (ya - yb)^2 + (za - zb)^2 = a^2
остальные аналогично (правда нужно выразить геометрическими методами длины некоторых отрезков через a, но это, вроде, просто)
Итого в наличии 15 уравнений.
Еще три получаются из размещения точек A, D, E на поверхности сферы:
xa^2 + ya^2 + za^2 = R^2 и т. д.
Итак есть 18 уравнений.
Т. к. до сего момента определенной была только точка О - предлагаю зафиксировать основание пирамиды в плоскости, параллельной плоскости XOY (), т.е. za = zb = zc.
Сам я, разумеется, не собираюсь решать все это великолепие. Но если кому-то нужно очень и ничего другого не придумывается, то может и прокатить...
По поводу первой задачи:
У пирамиды 6 рёбер. Т.к. она вписана в сферу радиусом 1, то длина каждого не превышает 2. Итого сумма длин рёбер меньше 12
ай, точно! А я условие невнимательно прочитал. Тогда буду дальше думать
Вот, всё, готово
Итак, сначала докажем, что сумма длин сторон треугольника, вписанного в окружность радиуса r не превосходит 3 r корней из 3.
Доказать можно так: выразим стороны как хорды, опирающиеся на дуги альфа1, альфа2 и альфа3, в сумме составляющие 360. Далее путём преобразований приходим к фунции от двух аргументов sin(a1/2)+sin(a2/2)+sin(a1/2)*cos(a2/2)+sin(a2/2)*cos(a1/2). С помощью частных производных найдём, что максимума она достигает при равентве трёх углов - т.е. для равносторннего треугольника.
Теперь рассмотрим нашу пирамиду. Пусть рёбра равны a,b,c,d а стороны основания e,f,g,h. Тогда
a+b+e<=3*sqrt(3)
b+c+f<=3*sqrt(3)
c+d+g<=3*sqrt(3)
d+a+h<=3*sqrt(3)
e+f+g+h<2*pi
Сложив эти неравенства и разделив их на 2 получим, что сумма длин всех рёбер меньше 6*sqrt(3)+pi=13,53...<15
Ваши права
Ответить с цитированием
