Плясать нужно от понятия точки. Точка не имеет собственного размера, она служит только для обозначения. Можно рассматривать малость точки как предел последовательности, где каждая последующая точка всё еще имеет какие-то размеры, но занимает, для определенности, площадь вдвое меньшую, чем предыдущая точка, и не вылазит за ее границы. Устремляя эту последовательность в бесконечность, мы получаем в пределе ту самую элементарную точку.Сообщение от Vigo
Теперь про числа алеф-0 и алеф-1.
алеф-0 в точности равно количеству всех натуральных чисел. То есть можно сказать, что это "простая бесконечность" (мой термин, при общении с математиками не использовать! оне будут смеяццо)
Большой философский вопрос, является ли число алеф-0 натуральным. По определению, алеф-0 строго больше любого натурального числа. НО операция "строго больше" в данном случае определена только для натуральных чисел, получается, что алеф-0 строго больше самого себя, что есть нонсенс. Поэтому про алеф-0 мы установим только, что оно
1) существует
2) для него определена операция сравнения с натуральными числами
3) результат этой операции: алеф-0 строго больше любого натурального числа
И не пытайся выяснить, является алеф-0 натуральным или нет. Вполне достаточно, что кто-то определил операцию сравнения, и всегда может выдать результат сравнения.
алеф-1 можно приближенно считать равным 2 в степени алеф-0, то есть это намного больше, чем алеф-0. Это связано с теорией чисел, в частности, с тем его разделом, где рациональные числа представляются как десятичные ( а хоть бы и двоичные, разницы нет) дроби.
Можно рассматривать число как целое плюс дробная часть. Дробную часть можно рассматривать как конечную или бесконечную десятичную (или двоичную, это без разницы) дробь. Если дробь конечная, то есть, начиная с какого-то знака, все цифры в ее записи -- ноли, ее можно представить в виде рационального числа.
Можно приблизиться к любому иррациональному числу последовательностью рациональных чисел, добавляя по одной цифре к записи числа.
Это была преамбула; теперь амбула.
кажущееся противоречие между конечностью числа 1 и количеством иррациональных чисел на интервале [0,1] -- а это количество оказывается алеф-1, а не алеф-0. Это связано с тем, что формула "два в степени алеф-0" эквивалентна подсчету количества комбинаций, что и присутствует на самом деле. Иррациональных чисел больше, чем счетное число (алеф-0) не потому, что бесконечно количество цифр в записи, а потому, что эти цифры могут меняться независимо -- и каждый раз мы будем получать другое иррациональное число. То есть мощность множества всех иррациональных чисел есть мощность множества всех комбинаций всех счетных чисел. Бесконечность на интервале [0,1] уходит в глубь записи числа, а не за границу интервала.
Ответить с цитированием
