Вот, всё, готово
Итак, сначала докажем, что сумма длин сторон треугольника, вписанного в окружность радиуса r не превосходит 3 r корней из 3.
Доказать можно так: выразим стороны как хорды, опирающиеся на дуги альфа1, альфа2 и альфа3, в сумме составляющие 360. Далее путём преобразований приходим к фунции от двух аргументов sin(a1/2)+sin(a2/2)+sin(a1/2)*cos(a2/2)+sin(a2/2)*cos(a1/2). С помощью частных производных найдём, что максимума она достигает при равентве трёх углов - т.е. для равносторннего треугольника.

Теперь рассмотрим нашу пирамиду. Пусть рёбра равны a,b,c,d а стороны основания e,f,g,h. Тогда
a+b+e<=3*sqrt(3)
b+c+f<=3*sqrt(3)
c+d+g<=3*sqrt(3)
d+a+h<=3*sqrt(3)
e+f+g+h<2*pi

Сложив эти неравенства и разделив их на 2 получим, что сумма длин всех рёбер меньше 6*sqrt(3)+pi=13,53...<15