Скрытый текст

Объясняю, почему в случае, если султан загадал числа 23 и 6, указанный в задаче диалог не мог произойти.

Итак, первый визирь знает P=138, второй визирь знает S=29
- Я не могу однозначно определить числа, т.к. 138=23*6=46*3=69*2, - подумал первый визирь
- Хе, конечно, не можешь, - подумал второй, - т.к. любое произведение х*(29-х) не представляется однозначно произведением двух сомножителей.

Произошёл первый обмен репликами. Из него первый визирь узнал, что сумма чисел равна одному из десяти допустимых значений (ДДЗ). Пробует:
69+2=71 – не подходит
46+3=49 – не подходит
23+6=29 – подходит!

Значит, теперь числа можно установить однозначно.

Хорошо, а что же делает второй визирь? Он думает:
-Ага, значит, первому визирю было сообщено некоторое произведение P, причём при одном разложении его на множители сумма y1+P/y1 принадлежит ДДЗ (а именно, равна 29), а при остальных разложениях сумма y2+P/y2 не принадлежит ДДЗ
А дальше – тупик. Поскольку, первый визирь скажет, что отгадал числа и в случае, если были загаданы, к примеру, 2 и 27:
P=54
2+27 Є ДДЗ
3+18=21 !Є ДДЗ
6+9=15 !Є ДДЗ

И второй всё ещё не знает, что это была за пара: 23 и 6 или 2 и 27 и его последняя реплика в этом случае будет невозможна.

Ключевой момент в решении – существование такого S Є ДДЗ, что для единственного P=x(S-x) существует единственное y+P/y Є ДДЗ

Так что все 4 реплики могли быть произнесены только если были загаданы числа 4 и 13.