Я согласен, сходными рассыждениями можно доказать, что, к примеру, множество рациональных чисел счётно, или что множества точек квадрата и отрезка-стороны этого квадрата имеют равные мощности.

Но здесь ты делаешь допущение, о котором сказал Зузик: не факт, что определяемые числа иду непрерывно.

Вот имеется фраза:
"Наименьшее натуральное число, для обозначения которого десяти слов не хватает"
Как ты определишь, какому натуральному числи поставить её в соответствие, пока ещё не перебраны все остальные комбинации из не более чем 10 слов?

Когда мы доказываем равномощность 2х множеств, мы вправе сами выбирать форму соответствия. А в контексте данной задачи форма соответствия привязана к свойсвтам самих чисел.