Смотря на эту последовательность можно сделать следующие полезные выводы: она возрастает, при том чем дальше - тем быстрее, говоря простым языком.
Грубо говоря, мы имеем дело с построением функции по 5 точкам. Вернее нам даже не надо ее строить, а всего лишь узнать ее значение в другой точке. Справедливо утверждение, что по 5 точкам можно задать полином 4-ой степени. Но вряд ли эта задача была бы интересна, если бы искомый полином был 4-ой степени. Из этого можно сделать вывод, что все немного проще. Это о том, как догадаться, что нужно искать функцию 3-ей степени. F(n) = a*n^3+b*n^2+c*n+d
F(1) = 3 || a+b+c+d=3
F(2) = 4 || 8a+4b+2c+d=4
F(3) = 7 || 27a+9b+3c+d=7
F(4) = 14 | 64a+16b+4c+d=14
F(5) = ?
F(6) = 48 для проверки.
Решаем систему из 4-х уравнений и подставляем в 5-ое, чтобы проверить верно ли наше предположение. Если бы не получилось, то надо было бы решать систему из 5 уравнений с 5-ю неизвестными для построения полинома 4-ой степени. Можно сразу составить матрицу и проверить ее определитель, чтобы понять, чт 3-ей степени достаточно.
Это первый вариант рассуждений. Второй вариант. Мы понимаем, что там какая-то степенная функция. Возьмем разность имеющихся элементов.
1 3 7 и 34 на 2 последних. Вообще если долго брать разности можно часто найти зависимость. Так как рассматривая F(n+1) - F(n) степень понижается. То есть n^3 сокращается. Но эта разность нам пока также ничего не говорит.
Берем дальше разности новой последовательности. Но для этого нам нужно оценить из чего же может складываться 34. Все числа этой последовательности нечетные и она также возрастает. Это могут быть 15 и 19, или 13 и 21, или 11 и 23
Смотрим, какое из предположений нас больше устраивает
с точки зрения еще одной разности.
1 3 7 15 19 получаем разность 2 4 8 4 - лабуда
1 3 7 13 21 получаем разность 2 4 6 8 - очень интересно
1 3 7 11 23 получаем разность 2 4 4 12 - опять лабуда.
Что значит рост разностей 2 4 6 8? Ну если взять квадраты чисел 1 4 9 16 25 36, то их разности как раз идут 3 5 7 9 и тд, соответственно - это то, что нужно.
Дальше в принципе даже не нужно особо ничего решать, чтобы понять зависимость разностей: 1 3 7 13 21. Это n^2 - n + 1
Итого получаем F(n+1) - F(n) = n^2 - n +1. Чем это уравнение лучше? Тем что можно подставить туда запись полинома 3-ей степени и подогнать коэффициенты при каждой степени. Это немного проще чем решать систему. Наверное.
Капитан команды RUS.
Ответить с цитированием
